Question

如圖，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A₁A=AB=2，
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，
且AB是圓柱底面圓的直徑，
∴BC⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁平面AA₁C，AC平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C。
（Ⅱ）解：設AC=x，
在Rt△ABC中，（0＜x＜2），
故（0＜x＜2），
即，
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，
∴當x²=2，即時，
三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為。