如圖,在△ABC中,|
AB
|=3
,|
AC
|=1
,l為BC的垂直平分線,l與BC交于點D,F(xiàn)為線段AD上的任意一點,且AC⊥BC,則
AF
•(
FB
+
FC
)
的最大值為
3
2
3
2
分析:首先利用D為線段BC中點,證明出
FB
+
FC
=2
FD
,從而
AF
•(
FB
+
FC
)
可以化簡為2|
AF
|
|
FD
|
=2|
AF
|
|
AD
|
-|
AF
|
),然后利用直角三角形的勾股定理計算出|
AD
|=
3
,代入化簡的式子,最后利用基本不等式可以求得
AF
•(
FB
+
FC
)
的最大值.
解答:解:∵D為線段BC中點
DB
+
DC
=
O
(
FB
-
FD
)+(
FC
-
FD
)=
O

FB
+
FC
=2
FD

AF
•(
FB
+
FC
)
=
AF
• 2
FD
=2|
AF
|
•|
FD
| cos0°

=2|
AF
|
|
FD
|
=2|
AF
|
|
AD
|
-|
AF
|

∵Rt△ABC中,|
AB
|=3
|
AC
|=1
,
|
BC
| =
32-12
=2
2

可得Rt△ADC中,|
CD
| =
1
2
|
BC
| =
2

|
AD
| =
(
2
)2+12
=
3

所以
AF
•(
FB
+
FC
)
=2|
AF
|
3
-|
AF
|

0<|
AF
|<
3

|AF|
(
3
-
|AF|
)
|AF|
+(
3
-
|AF|
)
2
=
3
2
|
AF
|
3
-|
AF
|
3
4

所以當且僅|
AF
|=
3
2
時,
AF
•(
FB
+
FC
)
的最大值為
3
2
點評:本題以直角三角形中的中線為載體,考查了向量在平面幾何中的應用,屬于中檔題.請同學們注意在解題的過程中用到了基本不等式求最值,要交待等號成立的條件.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一點E,以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D,若AE=2cm,
AD=4cm.
(1)求:⊙O的直徑BE的長;
(2)計算:△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點,且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,則sinC的值為( 。
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,設
AB
=a
,
AC
=b
,AP的中點為Q,BQ的中點為R,CR的中點恰為P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的一點,AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求∠ADC的大;
(2)求AB的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,則
AD
=( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案