Question

17．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（A）恰是f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，求A，b和△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積運算結(jié)合降冪公式及輔助角公式即可求得f（x）的解析，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，得到A的值，利用正弦定理求得C，進(jìn)一步得到B，再由面積公式求得△ABC的面積．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，
∴函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$=（sinx+$\sqrt{3}cosx$，$-\frac{3}{2}$）•（sinx，-1）
=sinx（sinx+$\sqrt{3}cosx$）+$\frac{3}{2}$=$si{n}^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+2$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]；
（2）∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
則f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值為3．
即f（A）=3，∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）+2=3，2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得A=$\frac{π}{3}$．
又a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{4}{sinC}$，得sinC=1，∴C=$\frac{π}{2}$．
則B=$π-\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角形的解法，是中檔題．