Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較2T_n與23n²-13n的大�。�

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
又∵a₁=5，得a₁+1=6≠0
∴=2，即數(shù)列{a_n+1}是以6為首項(xiàng)，公比等于2的等比數(shù)列．…（5分）
（2）由（Ⅰ）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，所以a_n=3×2ⁿ-1…（7分）
從而T_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+3（3×2³-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令P_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，得2P_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
相減得，P_n=n×2ⁿ⁺¹-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=3[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]-（n²+n）=3（n-1）2ⁿ⁺¹-（n²+n-12）…（9分）
所以2T_n-（23n²-13n）=12（n-1）2ⁿ-12（2n²-n-1）=12（n-1）（2ⁿ-2n-1）…①
當(dāng)n=1時(shí)，①式等于0，所以2T_n=23n²-13n；
當(dāng)n=2時(shí)，①式等于-12＜0，所以2T_n＜23n²-13n
當(dāng)n≥3時(shí)，n-1＞0且2ⁿ＞2n+1，所以，①式符號(hào)為正，從而2T_n＞23n²-13n．…（13分）
分析：（1）根據(jù)已知等式變形可得=2，結(jié)合首項(xiàng)a₁=5，得列{a_n+1}是以6為首項(xiàng)，公比等于2的等比數(shù)列．
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，算出T_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹-（n²+n-12），將此代入2T_n，再與23n²-13n作差因式分解，最后再對(duì)n進(jìn)行討論，不難得出2T_n與23n²-13n的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)并且比較兩個(gè)式子的大小，著重考查等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題．