Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，下面五個(gè)關(guān)于f（x）的命題中：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上為減函數(shù)；
⑤f（2014）=f（0）．
正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），得到函數(shù)的周期，然后利用周期性，奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系分別判斷．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期是2，所以函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，所以①正確．
②因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（x）=f（-x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以②正確．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是周期是2的周期函數(shù)，且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，所以④錯(cuò)誤．
⑤因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是周期是2的周期函數(shù)，所以f（2014）=f（0），所以⑤正確．
故正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)周期性和奇偶性，以及單調(diào)性的關(guān)系，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用．