Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}|x|，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（x²-x）=a有六個根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （-1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 令x²-x=t，得出關(guān)于x的方程x²-x=t的解得分布情況，作出f（t）的函數(shù)圖象，討論關(guān)于t的方程f（t）=a的解得情況，從而得出方程f（x²-x）=a的解的個數(shù)．

解答 解：f（x）的定義域為{x|x≠0}，
令x²-x=t（x≠0），則t≥-$\frac{1}{4}$，
且t=-$\frac{1}{4}$或t=0時，方程x²-x=t只有一解，
當-$\frac{1}{4}$＜t＜0或t＞0時，方程x²-x=t有兩解，
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}，t＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-t），-\frac{1}{4}≤t＜0}\end{array}\right.$，
∴f（t）在[-$\frac{1}{4}$，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
作出y=f（t）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知，當a＜2時，關(guān)于t的方程f（t）=a無解，
∴方程f（x²-x）=a無解，不符合題意；
當a=2時，關(guān)于t的方程f（t）=a有兩解t₁=-$\frac{1}{4}$，t₂=1，
∵x²-x=-$\frac{1}{4}$只有一解，x²-x=1有兩解，
∴方程f（x²-x）=a有三解，不符合題意；
當a＞2時，關(guān)于t的方程f（t）=a有三解，不妨從t₁＜t₂＜t₃，
顯然-$\frac{1}{4}$＜t₁＜0，0＜t₂＜1，t₃＞1，
又關(guān)于x的方程x²-x=t_i（i=1，2，3）都有兩解，
∴方程f（x²-x）=a有六解，符合題意．
故選D．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．