Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）-1（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象兩相鄰對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，且f（x）≤$f（\frac{π}{6}）$=1（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）-1（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象兩相鄰對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
∴f（x）≤$f（\frac{π}{6}）$=1（x∈R ），∴A-1=1，2•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，取φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）當x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈[-2，1]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．