Question

設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）當(dāng)m=n=2014時(shí)，若f（x）的展開(kāi)式可表示為f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄；
（2）若f（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是20，則當(dāng)m，n取何值時(shí)，x²系數(shù)最小，最小為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）當(dāng)m=n=2014時(shí)，f（x）=（1+2x）²⁰¹⁴+（1+x）²⁰¹⁴ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄的值．
（2）因?yàn)閒（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是2

C

1 m

+

C

1 n

=20，即n=20-2m，則x²的系數(shù)為4m²-41m+190，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=n=2014時(shí)，f（x）=（1+2x）²⁰¹⁴+（1+x）²⁰¹⁴ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，
令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄=1．
（2）因?yàn)閒（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是2

C

1 m

+

C

1 n

=2m+n=20，
所以，n=20-2m，則x²的系數(shù)為 2²•

C

2 m

+

C

2 n

=4×

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=4m²-41m+190，
所以當(dāng)m=5，即n=10時(shí)，展開(kāi)式中的x²系數(shù)最小，最小值為85．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．