Question

已知函數(shù)f（x）=

2lnx

x

（x＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）在x=

1

e

處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最大值；
（3）設a＞0，求函數(shù)h（x）=af（x）在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），利用導數(shù)的幾何意義即可得出切線的斜率f′(

1

e

)；
（2）分別解出f'（x）＞0，由f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的最大值；
（3）對a與e，

e

2

的大小關(guān)系分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性極值，即可得出函數(shù)的最大值．

解答： 解（1）f′(x)=

2(1-lnx)

x2

（x＞0），
當x=

1

e

 時，切線的斜率k=f′(

1

e

)=4e²．
（2）由f'（x）＞0，解得0＜x＜e；由f′（x）＜0，解 得x＞e．
∴f（x） 在（0，e） 上為增，在（e，+∞） 上為減．
∴f(x)max=f(e)=

2

e

．
（3）h（x）=af（x）=

2alnx

x

，h′(x)=

2a(1-lnx)

x2

．（x＞0，a＞0）．
令h′（x）=0，解得x=e．
當0＜x＜e時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當e＜x時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
i）當a＜

e

2

 即2a＜e 時，h（x） 在[a，2a]上為增函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2a）=ln（2a）．
ii）當

e

2

≤a≤e 即a≤e≤2a，h（x） 在[a，e]上為增函數(shù)，在[e，2a]為減函數(shù)．
h(x)max=h(e)=

2a

e

．
iii）當a＞e，h（x） 在[a，2a]為減函數(shù)，h（x）_max=h（a）=2lna．
綜上可得，h（x）_max=

ln(2a)，0＜a＜ e 2 2a e ， e 2 ≤a≤e 2lna，a＞e

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導數(shù)的幾何意義與切線的斜率，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．