Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1，

∴f'（x）＞0有 ，∴函數(shù)f（x）在 上遞增，f'（x）＜0有 ，

∴函數(shù)f（x）在 上遞減，

∴f（x）在 處取得極小值，極小值為

（2）解：∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3

即mx≤2xlnx+x2+3，又x＞0，

∴ ，

令 ，

令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上遞增，

∴h（x）min=h（1）=4．

∴m≤4，

即m的最大值為4．

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)即可求出實(shí)數(shù)m的最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．