【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(2)當時,若函數(shù)有三個不同的零點,求的取值范圍;
(3)設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為,當時,若在內恒成立,則稱為函數(shù)的“類對稱點”,請你探究當時,函數(shù)是否存在“類對稱點”,若存在,請最少求出一個“類對稱點” 的橫坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1) 單調遞增區(qū)間為和;(2) ; (3) 是一個類對稱點的橫坐標.
【解析】試題分析:(1)求導數(shù)f′(x),當a>2時在函數(shù)定義域內解不等式f′(x)>0即可.
(2)數(shù)形結合:當a=4時,用導數(shù)求出函數(shù)y=f(x)的極大值與極小值,畫出草圖,借助圖象即可求得m的取值范圍.(3)當a=4時,函數(shù)y=f(x)在其圖象上一點P(x0,f(x0))處的切線方程為y=h(x)=.由此能推導出y=f(x)存在“類對稱點”, 是一個“類對稱點”的橫坐標.
(1)由可知,函數(shù)的定義域為,
且.
因為,所以.當或時, ;當時, ,
所以的單調遞增區(qū)間為和.
(2)當時, .所以,當變化時, 的變化情況如下:
1 | 2 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
單調遞增 | 取極大值 | 單調遞減 | 取極小值 | 單調遞增 |
所以極大值,
極小值.
函數(shù)的圖象大致如下:
所以若函數(shù)有三個不同的零點,
則.
(3)由題意,當時, ,則在點處切線的斜率.
所以 .
令,
則, .
①當時, 在上單調遞減,所以當時, .從而有時, ;
②當時, 在上單調遞減,所以當時, .從而有時, ;
所以在上不存在“類對稱點”.
③當時, ,所以在上是增函數(shù),故.
所以是一個類對稱點的橫坐標.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值;
(2)若對任意 恒成立,求實數(shù)m的最大值.
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【題目】已知數(shù)列滿足對任意的都有,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設數(shù)列的前項和為,不等式對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】2017年3月14日,“ofo共享單車”終于來到蕪湖,ofo共享單車又被親切稱作“小黃車”是全球第一個無樁共享單車平臺,開創(chuàng)了首個“單車共享”模式.相關部門準備對該項目進行考核,考核的硬性指標是:市民對該項目的滿意指數(shù)不低于0.8,否則該項目需進行整改,該部門為了了解市民對該項目的滿意程度,隨機訪問了使用共享單車的100名市民,并根據(jù)這100名市民對該項目滿意程度的評分,繪制了如下頻率分布直方圖: (I)為了了解部分市民對“共享單車”評分較低的原因,該部門從評分低于60分的市民中隨機抽取2人進行座談,求這2人評分恰好都在[50,60)的概率;
(II)根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識,判斷該項目能否通過考核,并說明理由.
(注:滿意指數(shù)= )
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【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40m的半圓形(以O為圓心,AB為直徑)綠化區(qū)域,現(xiàn)計劃對其進行改建.在AB的延長線上取點D,使OD=80m,在半圓上選定一點C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2. 設∠AOC=x rad.
(1)寫出S關于x的函數(shù)關系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)張強同學說:當∠AOC=時,改建后的綠化區(qū)域面積S最大.張強同學的說法正確嗎?若不正確,請求出改建后的綠化區(qū)域面積S最大值.
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【題目】袋子里有編號為的五個球,某位教師從袋中任取兩個不同的球. 教師把所取兩球編號的和只告訴甲,其乘積只告訴乙,讓甲、乙分別推斷這兩個球的編號.
甲說:“我無法確定.”
乙說:“我也無法確定.”
甲聽完乙的回答以后,甲又說:“我可以確定了.”
根據(jù)以上信息, 你可以推斷出抽取的兩球中
A. 一定有3號球 B. 一定沒有3號球 C. 可能有5號球 D. 可能有6號球
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【題目】已知y=f(x)是R上的可導函數(shù),對于任意的正實數(shù)t,都有函數(shù)g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定義域內為減函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象可能為如圖中( )
A.
B.
C.
D.
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