Question

【題目】已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）

【解析】試題分析 ：（1），分，討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè) ，所以 ，設(shè) ，則，且是增函數(shù)，所以 。所以分和k>1討論。

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，對(duì)，，

所以在是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值，

所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，令，解得，

若，則，所以在上是減函數(shù)，

若，則，所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，取得極小值為，

函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).

（Ⅱ）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.

若，則設(shè) ，

所以 ，設(shè) ，

則，且是增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，

，即，所以在上是增函數(shù)，

所以，即在上恒成立.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在是增函數(shù)，

因?yàn)?/span>， ，

所以在上存在唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

從而，即，所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，即.

所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.