Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≤

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，然后，設(shè)x＜0，則-x＞0，然后，借助于函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)和當(dāng)x＜0時(shí)三種情況，討論不等式f（x）≤

1

2

成立的x的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=2^-x+1，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-2^-x+1，
∴f(x)=

-2-x+1，(x＜0) 0，(x=0) 2x+1，(x＞0)

，
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，2^x+1＞2恒成立，不滿足不等式f（x）≤

1

2

．
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，滿足不等式f（x）≤

1

2

．
當(dāng)x＜0時(shí)，-2^-x+1＜-2恒成立，滿足不等式f（x）≤

1

2

．
綜上所述，不等式f（x）≤

1

2

的解集為：（-∞，0]

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式相結(jié)合知識(shí)點(diǎn)，涉及到指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題，難度中等．