Question

已知圓O：x²+y²=1和點M（1，4）．
（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程；
（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-8截得的弦長為8的圓M的方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）當直線無斜率時，方程為x=1，滿足題意；當直線有斜率時，設(shè)直線方程為y-4=k（x-1），由點到直線的距離公式可得k值，可得方程；
（2）設(shè)以點M為圓心的圓的半徑為r，由題意可得圓心M到直線2x-y-8=0的距離d滿足r²=d²+4²，由點到直線的距離公式可得d值，可得答案．

解答： 解：（1）當直線無斜率時，方程為x=1，滿足直線與圓相切；
當直線有斜率時，設(shè)直線方程為y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
由相切和點到直線的距離公式可得

|-k+4|

k2+(-1)2

=1，解得k=

15

8

，
代入可得直線方程為y-4=

15

8

（x-1），即15x-8y+17=0，
∴所求切線的方程為x=1或15x-8y+17=0；
（2）設(shè)以點M為圓心的圓的半徑為r，
∵該圓被直線y=2x-8截得的弦長為8，
∴圓心M到直線2x-y-8=0的距離d滿足r²=d²+4²，
由點到直線的距離公式可得d=

|2×1-4-8|

22+(-1)2

=

10

5

，
∴r²=d²+4²=36
∴圓M的方程為（x-1）²+（y-4）²=36．

點評：本題考查直線圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓的相切問題，屬中檔題．