Question

15．己知雙曲線和橢圓2x²+y²=8有公共焦點，求以它們交點為頂點的四邊形面積最大時雙曲線的方程．

Answer 1

分析 由題意設(shè)所求雙曲線的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），知a²+b²=8-4=4，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程求得交點，求出長方形的面積，由基本不等式可得最大值，求得a，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：橢圓2x²+y²=8即為$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
由題意設(shè)所求雙曲線的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題設(shè)知a²+b²=8-4=4，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{（4-{a}^{2}）{y}^{2}-{a}^{2}{x}^{2}={a}^{2}（4-{a}^{2}）}\end{array}\right.$，
解得交點的坐標(biāo)滿足x²=4-a²，y²=2a²，
由橢圓和雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性知，
以它們的交點為頂點的四邊形是長方形，
其面積S=4|xy|=4$\sqrt{4-{a}^{2}}$•$\sqrt{2}$a≤4$\sqrt{2}$•$\frac{4-{a}^{2}+{a}^{2}}{2}$=8$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4-a²=a²，即為a=$\sqrt{2}$時，取得最大值8$\sqrt{2}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的關(guān)系，求它們的交點的四邊形的面積最大時雙曲線的方程，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．