Question

6．若R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2-x），且當x∈（0，1]時，f（x）=log₃x，則方程f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0）在區(qū)間（2016，2018）內的所有實限之和為（　　）

• A． 4032
• B． 4036
• C． 4034
• D． 4030

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且周期為4，f（0）=0；再利用0＜x≤1時f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$x，求出方程f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0）在區(qū)間（2016，2018內的所有實根之和．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（2-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的圖象關于x=1對稱，
又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）=-$\frac{1}{3}$+f（0），
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$，
∵0＜x≤1時，f（x）=log₃x≤0，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$在（0，1）內有一實根x₁，
又函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$在（1，2）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一個實根x₃、x₄，且x₃+x₄=10；
在（8，9），（9，10）各有一個實根x₅，x₆，且x₅+x₆=18；…，
以此類推，原方程在區(qū)間（2016，2018）內的所有實根之和為2017×2=4034．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性問題，解題的關鍵是判斷f（x）的周期以及0＜x≤1時，f（x）=log$\frac{1}{3}$x的圖象特征，是綜合性題目．