Question

19．已知在各棱長(zhǎng)都為2的三棱錐A-BCD中，棱DA，DB，DC的中點(diǎn)分別為P，Q，R，則三棱錐Q-APR的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{16}$

Answer 1

分析 取CD中點(diǎn)E，連結(jié)BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，A到平面PQR的距離h=$\frac{1}{2}AO$，三棱錐Q-APR的體積為V_Q-APR=V_A-BCD，由此能求出結(jié)果．

解答 解：取CD中點(diǎn)E，連結(jié)BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，
∵在各棱長(zhǎng)都為2的三棱錐A-BCD中，棱DA，DB，DC的中點(diǎn)分別為P，Q，R，
∴QR=QP=PR=1，∴S_△PQR=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
BE=AE=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，OE=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AO=$\sqrt{3-\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，A到平面PQR的距離h=$\frac{1}{2}AO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱錐Q-APR的體積為：
V_Q-APR=V_A-BCD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△PQR}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的取值范圍的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力，考查空間思維能力，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．