Question

【題目】若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

（Ⅰ）若數(shù)列是數(shù)列，且，求，的值；

（Ⅱ）求證：若數(shù)列是數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；

（Ⅲ）若數(shù)列為數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求所有可能取值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）的取值集合為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，再由可得，，；（Ⅱ）此命題是否定性命題，可用反證法證明，即假設(shè)數(shù)列中各項(xiàng)全是正數(shù)（或全是負(fù)數(shù)），由遞推公式推出矛盾即可；（Ⅲ）這類問題的數(shù)列應(yīng)該是有一定的規(guī)律，最簡(jiǎn)單的就是周期數(shù)列，首先由（Ⅱ）可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，

且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)．因此存在最小的正整數(shù)滿足（）．設(shè)，則由遞推公式計(jì)算，最后可知數(shù)列是周期為9的周期數(shù)列，由剛才的計(jì)算可知在這9個(gè)數(shù)中有6個(gè)正數(shù)，3個(gè)負(fù)數(shù)，接著只要對(duì)分別討論（關(guān)鍵是中有幾個(gè)負(fù)數(shù)）．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>是數(shù)列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，即，

所以，，與假設(shè)矛盾．

故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù),

假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，

則而,與假設(shè)矛盾,

故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，

且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)．

因此存在最小的正整數(shù)滿足（）．

設(shè)，則

．

,

故有, 即數(shù)列是周期為9的數(shù)列

由上可知這9項(xiàng)中為負(fù)數(shù)，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余項(xiàng)都是正數(shù)．

因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，這項(xiàng)中至多有一項(xiàng)為負(fù)數(shù)，而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是,

記這項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，若則，故為負(fù)數(shù)，

此時(shí)，；

若則，故為負(fù)數(shù)．

此時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，必須為負(fù)數(shù)，，,

綜上可知的取值集合為．