Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a∈R）同時滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；
②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

f(n+3)-1

（n∈N^*）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出a=0或a=4，再利用函數(shù)的單調(diào)性能求出f（x）的表達式．
（2）由（1）知f（n+3）-1=n²+2n=n（n+2），從而得到an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）=x²-ax+a≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．（3分）
當a=0時，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）遞增，不滿足條件②，
當a=4時，函數(shù)f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②，（5分）
綜上得a=4，
∴f（x）=x²-4x+4．（6分）
（2）由（1）知f（n+3）-1=n²+2n=n（n+2），（8分）
∴an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，（10分）
∴S_n=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．（14分）

點評：本題考查函數(shù)的表達式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．