Question

某公司在開發(fā)的初級(jí)階段大量生產(chǎn)一種產(chǎn)品．這種產(chǎn)品是否合格要進(jìn)行A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品為合格品．
（1）任意依次抽出5個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求其中至多3個(gè)產(chǎn)品是合格品的概率是多少；
（2）任意依次抽取該種產(chǎn)品4個(gè)，設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求Eξ與Dξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出兩項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，根據(jù)有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

5

12

，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為

11

12

，得到關(guān)于兩個(gè)概率的關(guān)系式，解方程即可．再求出概率．
（2）由題意知每一次抽取一個(gè)產(chǎn)品相當(dāng)于一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P₁、P₂
由題意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)•= 11 12

解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即，一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)過檢測(cè)為合格品的概率為

1

2

任意抽出5個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查，其中至多3個(gè)產(chǎn)品是合格品的概率為1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

（2）依題意知ξ～B（4，

1

2

），Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是看出變量符合二項(xiàng)分布，這樣題目的計(jì)算過程就省去了，只要根據(jù)公式寫出結(jié)果就可以．