Question

（08年長沙市模擬理）（12分） 如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，，平面平面。

（1）證明：；

（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；

（3）在直線CC₁上是否存在點P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

解析：連接BD交AC于O，則，連接A₁O在中，AA₁=2,AO=1,

，由于平面平面ABCD，

所以底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A₁(0,0, )  2分

（1）由于

由

  4分

（2）由于平面平面AA₁C₁C的法向量，設(shè)平面AA₁D，則設(shè)  6分

得到取  6分

所以二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是  8分

（3）假設(shè)在直線CC₁上存在點P，使BP//平面DA₁C₁

設(shè)則

得  9分

設(shè)平面DA₁C₁，則，設(shè)

得到不妨取   10分

又因為平面DA₁C₁，則即得

即點P在C₁C的延長線上且使C₁C=CP  12分

法二：過A₁作于點O，由于平面平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面ABCD，又底面為菱形，所以

  4分

（2）在中， 。

所以O(shè)是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以O(shè)也是BD中點

由（1）可知平面AA₁C

過O作于E點，連接OE，則

則為二面角D-AA₁-C的平面角  6分

在菱形ABCD中，

在中，

  8分

（3）以下同解法1。