Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{3}sinxsin（x+\frac{π}{2}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，得g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 1）利用二倍角和誘導(dǎo)公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過圖象平移變換，求解出g（x），x∈[0，π]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出g（x）的取值最大和最小值．

解答 解析：函數(shù)f（x）=-$\sqrt{3}sinxsin（x+\frac{π}{2}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$（x∈R）．
化簡可得：$f（x）=-\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x-\frac{1}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=cos（2x+\frac{π}{3$）
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$是單調(diào)遞增，
解得：$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}\;（k∈Z）$
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}}]\;（k∈Z）$
（2）函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得$g（x）=cos（x+\frac{π}{6}）$
∵x∈[0，π]
∴$x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
∴$cos（x+\frac{π}{6}）∈[{-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
故得：當(dāng)x=0時，g（x）有最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
當(dāng)$x=\frac{5π}{6}$時，g（x）有最小值-1．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．