若函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2,其中a∈R,
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)當(dāng)a>0時(shí),求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.
考點(diǎn):根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2=
|x|-2x2(x+2)
x+2
,令|x|-2x2(x+2)=0,可得
x≥0
x-2x3-4x2=0
…①或
x<0
-x-2x3-4x2=0
…②,然后解不等式組,求出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即可;
(2)當(dāng)a>0,x>0時(shí),函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2=
x-ax3-2ax2
x+2
=
x(1-ax2-2ax)
x+2
,令f(x)=0,可得x(1-ax2-2ax)=0,解方程,求出函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)即可;
(3)函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2有四個(gè)不同的零點(diǎn),①x=0時(shí),f(0)=0,所以x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)x≠0時(shí),可得y=
|x|
x2
與y=a(x+2)的圖象在平面直角坐標(biāo)系中有3個(gè)不同的交點(diǎn),分別畫出它們的圖象,判斷出a的取值范圍即可.
解答: 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2=
|x|-2x2(x+2)
x+2

令|x|-2x2(x+2)=0,
可得
x≥0
x-2x3-4x2=0
…①或
x<0
-x-2x3-4x2=0
…②,
由①可得 x=0,x=
6
2
+1
,或x=
6
2
-1

由②可得x=
2
2
-1

綜上,當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x=0,x=
6
2
+1
,x=
6
2
-1
x=
2
2
-1
;
(2)當(dāng)a>0,x>0時(shí),
函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2=
x-ax3-2ax2
x+2
=
x(1-ax2-2ax)
x+2
,
令f(x)=0,
可得x(1-ax2-2ax)=0,
解得x=-1+
2
,x=0(舍去),或x=-1-
2
(舍去),
即函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x=-1+
2
;
(3)函數(shù)f(x)=
|x|
x+2
-ax2有四個(gè)不同的零點(diǎn),
①x=0時(shí),f(0)=0,所以x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)x≠0時(shí),可得y=
|x|
x2
與y=a(x+2)的圖象在平面直角坐標(biāo)系中有3個(gè)不同的交點(diǎn),
分別畫出它們的圖象如下:
當(dāng)y=a(x+2)與y=-
1
x
相切時(shí),a=1,
所以若函數(shù)f(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍為(1,+∞).
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

所示結(jié)構(gòu)圖中要素之間表示從屬關(guān)系是(  )
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l:mx-2y+2m=0(m∈R)和橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),橢圓C的離心率為
2
2
,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為2
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)m=2時(shí),設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求線段PM長度的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
25
+
y2
9
=1,以及圓O:x2+y2=9,自橢圓上一點(diǎn)P,作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,直線MN在x軸與y軸的截距分別為a,b.
(1)若點(diǎn)P在第一象限且橫坐標(biāo)為4,求過點(diǎn)M,N,P的圓的方程;
(2)對于異于橢圓上頂點(diǎn)的任意點(diǎn)P,代數(shù)式
9
a2
+
25
b2
的值是否都恒為常數(shù),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=1+log2
x
1-x
的圖象上任意兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2

(1)求證:M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),n∈N*,且n≥2,求Sn
(3)在(2)的條件下,已知an=
1
2
                             n=1
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
   n≥2且n∈N*
,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<λ對一切n∈N*都成立,試求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)曲線y=
x+1
x-1
在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知2013年2月10日春節(jié).某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進(jìn)入市場銷售,通過市場調(diào)查,預(yù)測黃瓜的價(jià)格f(x)(單位:元/kg)與時(shí)間x(x表示距2月10日的天數(shù),單位:天,x∈(0,8])的數(shù)據(jù)如下
時(shí)間x862
價(jià)格f(x)8420
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f(x)與上市時(shí)間x的變化關(guān)系:f(x)=ax+b,f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a•bx,f(x)=a•logbx,其中a≠0;并求出此函數(shù);
(Ⅱ)為了控制黃瓜的價(jià)格,不使黃瓜的價(jià)格過于偏高,經(jīng)過市場調(diào)研,引入一控制函數(shù)h(x)=ex-(12-2m)x+39(x>0),m稱為控制系數(shù).求證:當(dāng)m>ln2-1時(shí),總有f(x)<h(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)雙曲線S:
x2
a2
-
y2
b2
=1,M(x0,y0)∉S,且x0y0≠0.N(λx0,λy0),其中
1
λ
=
x02
a2
-
y02
b2
.過點(diǎn)N的直線L交雙曲線S于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作斜率為
b2x0
a2y0
的直線交雙曲線S于點(diǎn)C.求證:A,M,C三點(diǎn)共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為
2
2
,過F1的直線l1交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為4
2

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過F2且與l1垂直的直線l2交橢圓于C、D兩點(diǎn),求證:
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值.

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