Question

【題目】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．

（1）設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍；

（2）若，證明：存在，使得對n=2，3，···，m+1均成立，并求d的取值范圍（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）．（2）.

【解析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式即可；

（2）根據(jù)數(shù)列和不等式的關(guān)系，利用不等式的關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列和函數(shù)，判斷數(shù)列和函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解：（1）由條件知：．

因?yàn)?/span>對n=1，2，3，4均成立，

即對n=1，2，3，4均成立，

即得

因此，d的取值范圍為．

（2）由條件知：．

若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，

即，

即當(dāng)時，d滿足．

因?yàn)?/span>，則，

從而，對均成立．

因此，取d=0時，對均成立．

下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．

①當(dāng)時，，

當(dāng)時,有，從而.

因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，

故數(shù)列的最大值為．

②設(shè)，當(dāng)時，，

所以單調(diào)遞減，從而<f（0）=1．

當(dāng)時，，

因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，

故數(shù)列的最小值為．

因此，d的取值范圍為．