Question

已知橢圓的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.

（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求的長；

（2）求的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當(dāng)的內(nèi)切圓的面積取最大值時直線的方程.

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程為；（2）（1）的長為；（2）當(dāng)的內(nèi)切圓的面積取最大值時直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，且，聯(lián)立可求得橢圓方程；

（2）（1）聯(lián)立橢圓與直線方程，由弦長公式可直接求出的長；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，得，而；

利用均值不等式和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得當(dāng)時，有最大值3，這時的內(nèi)切圓面積的最大值為，直線的方程為.

試題解析：（1）由已知，得，且，解得，

故橢圓C的方程為； 4分

（2）（1）由，消去得， 6分

則； 9分

（2）設(shè)直線的方程為，由，得，顯然，

設(shè)，則有，

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由可知，

當(dāng)最大時，也最大，的內(nèi)切圓面積也最大.

由 12分

令，則，且，則，

令，則，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，故有

所以，即當(dāng)，時，有最大值3，即，

這時的內(nèi)切圓面積的最大值為，直線的方程為. 14分

考點：橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)與方程思想.