Question

16．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=$\sqrt{2}$．
（1）求證：MN∥平面PDC；
（2）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到$\frac{BN}{NP}$=$\frac{BM}{MD}$，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用等體積方法，求點C到平面PBD的距離．

解答 （1）證明：在正△ABC中，BM=2$\sqrt{3}$．
在△ACD中，∵M為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BM}{MD}$=3．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}$=3，
∴$\frac{BN}{NP}$=$\frac{BM}{MD}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC；
（2）解：設點C到平面PBD的距離為h．
由（1）可知，BD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，PM=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{5}$=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$．
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{1}{3}×\frac{8\sqrt{15}}{3}h$，∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點C到平面PBD的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確求體積是關鍵．