Question

4．如圖，ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，點C是$\widehat{BD}$的中點，切線CE交AD的延長線于E，AC交BD于F．
（Ⅰ）求證：∠AFD=∠CDE；
（Ⅱ）寫出比值與$\frac{AE}{CE}$相等的5組線段．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖，連接OC，證明△AFD∽△CDE，即可證明：∠AFD=∠CDE；
（Ⅱ）比值與$\frac{AE}{CE}$相等的線段共有7組，只需任寫出其中5組即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連接OC，
因為C是$\widehat{BD}$的中點，所以O(shè)C⊥BD．
因為CE為圓O的切線，所以O(shè)C⊥CE，
所以BD∥CE，所以∠E=∠FDA．
又因為∠DAF=∠DCE，
所以△AFD∽△CDE，
所以∠AFD=∠CDE…（5分）
（Ⅱ）解：比值與$\frac{AE}{CE}$相等的線段共有7組，只需任寫出其中5組即可，$\frac{CE}{DE}，\frac{AD}{FD}，\frac{AB}{BF}，\frac{BC}{CF}，\frac{DC}{CF}$．…（10分）

點評 本題考查圓的弦切角定理和三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．