Question

（2005•東城區(qū)一模）已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）和（1，0），點A、P、Q運動時滿足|

AE

|=2|

EF

|，

AQ

=

QF

，

PQ

•

AF

=0，

AP

∥

EP

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設M、N是C上兩點，若

OM

+2

ON

=3

OE

，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由

AQ

=

QF

，

PQ

•

AF

=0可知PQ為AF的垂直平分線即|

PA

|=|

PF

|，由

AP

∥

EP

可得P為AF的垂直平分線與AE的交點，則有|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4，由橢圓的定義可知P的軌跡為橢圓，且2a=4，c=1，由b²=a²-c²可求b，進而可求點P的軌跡方程
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，由

OM

+2

ON

=3

OE

可得x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0，聯立方程可求x₂，y₂，直線MN的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

3+3x2

=

y2

1+x2

可求，進而可求直線方程

解答：解：（1）∵

AQ

=

QF

∴Q為AF的中點
又∵

PQ

•

AF

=0
∴PQ⊥AF
∴PQ為AF的垂直平分線
∴|

PA

|=|

PF

|
∵

AP

∥

EP

∴A、E、P三點共線
∴P為AF的垂直平分線與AE的交點
∴|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4
∴P的軌跡為橢圓，且2a=4，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴點P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則3x12+4y12=12，3x22+4y22=12（7分）
∵

OM

+2

ON

=3

OE

∴x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0（8分）
即

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12 x1+2x2=-3 y1+2y2=0

∴

3x12+4x12=12① 3x22+4y23=12② x1=-3-2x2③ y1=-2y2④

③代入①可得27+36x2+12x22+16y22=12⑤
⑤-②×4可得，x2=-

7

4

把x2=-

7

4

代入②可得y2=±

3 5

8

（10分）
直線MN與x軸顯然不垂直
∴所求的直線MN的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

3+3x2

=

y2

1+x2

=±

5

2

（12分）
∴所求的直線MN的方程為y=±

5

2

(x+1)（13分）

點評：本題主要考察了利用橢圓的定期求解橢圓的方程，直線與橢圓相交關系的應用，解題的難點在于基本運算及邏輯推理．