Question

17．已知平面向量滿足：$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}，|{\overrightarrow{QA}}|=|{\overrightarrow{QB}}|=2$，若$|{\overrightarrow{QM}}|＜1$，則$|{\overrightarrow{PQ}}|$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{2，2\sqrt{2}}]$
• B． $（{\sqrt{7}，3}）$
• C． $（{\sqrt{7}，2\sqrt{2}}]$
• D． $[{2\sqrt{2}，3}）$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，P點(diǎn)和M點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)Q在y軸上，從而設(shè)出P，M，A，B，Q的坐標(biāo)：P（x，y），M（-x，-y），A（a，0），B（-a，0），Q（0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$），從而根據(jù)|PO|=|a|，$0≤|\overrightarrow{QM}|＜1$便得到$3＜2y\sqrt{4-{a}^{2}}≤4$，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式從而求出$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$的范圍，從而得出|$\overrightarrow{PQ}$|范圍．

解答 解：如圖，以線段AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；
$|\overrightarrow{QA}|=|\overrightarrow{QB}|$=2，∴Q點(diǎn)在y軸上；
設(shè)P（x，y），M（-x，-y），A（a，0），Q（0，$-\sqrt{4-{a}^{2}}$）；
△PAB為Rt△；
∴|PO|=|a|，又0≤$|\overrightarrow{QM}|＜1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\\{0≤{x}^{2}+（y-\sqrt{4-{a}^{2}}）^{2}＜1}\end{array}\right.$；
∴$3＜2y\sqrt{4-{a}^{2}}≤4$；
$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}={x}^{2}+（y+\sqrt{4-{a}^{2}}）^{2}$=$2y\sqrt{4-{a}^{2}}+4$；
∴$7＜|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}≤8$；
∴$\sqrt{7}＜|\overrightarrow{PQ}|≤2\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{PQ}|$的取值范圍為$（\sqrt{7}，2\sqrt{2}]$．
故選：C．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系解決向量問題、幾何問題的方法，中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及兩點(diǎn)間距離公式．