Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，且過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求k²的值．

Answer 1

分析 （1）由已知2c=2$\sqrt{3}$，代入點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），結合b²=a²-c²即可求a，b，進而可求橢圓方程；
（2）由（1）得過B點的直線為y=kx+1，聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程即可得到．

解答 解：（1）由已知2c=2$\sqrt{3}$，即有c=$\sqrt{3}$，
 代入點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，又a²-b²=3，
解得a=2，b=1，
則有橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）得過B點的直線為y=kx+1，
由代入橢圓方程，得（4k²+1）x²+8kx=0，
則x_D=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，y_D=$\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
依題意k≠0，k≠±$\frac{1}{2}$．
因為|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，所以|BE|²=|BD||DE|，
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，
當y_D＞0時，y_D²-y_D+1=0，無解，
當y_D＜0時，y_D²-y_D-1=0，解得y_D=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
所以$\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，解得k²=$\frac{2+\sqrt{5}}{4}$，
所以，當|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列時，k²=$\frac{2+\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，及等比數(shù)列的應用，屬于綜合試題．