Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于.

(1)求證：⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析；(2).

試題分析：(1)先根據(jù)正方形的特征得到， ，再根據(jù)點(diǎn)的重合得到， ，由直線與平面垂直的判定定理可知， ，再由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得到 ；(2)先取的中點(diǎn)，連，，由等腰三角形底邊上的三線合一以及勾股定理證明，，所以是二面角的平面角，再根據(jù)已知的邊的長(zhǎng)度
試題解析：(1)證明：∵是正方形，
∴，，        ..2分
∴，，       .3分
又，              . 4分
∴，             5分
又，            .6分
∴.                      7分
(2)取的中點(diǎn)，連，，如圖所示：

則在中，∵，，
∴，                .8分
∴，
∴，                .. 9分
所以是二面角的平面角，         10分
在中，，，
∴，∴，         ..11分
∵，∴，又，∴，   .12分
∴，          .13分
所以二面角的平面角的余弦值是.        14分