Question

已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.

（1）證明: 為定值;

（2）若△POM的面積為，求向量與的夾角；

(3)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).

 

Answer 1

（1）見解析； (2) ；(3)直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)根據(jù)、M、A三點(diǎn)共線，

得 計(jì)算得到=5；

(2)設(shè)∠POM=α，可得結(jié)合三角形面積公式可得tanα=1.

根據(jù)角的范圍，即得所求.

(3)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線，

據(jù)此確定進(jìn)一步確定的方程，化簡為

得出結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線，

2分

5分

(2)設(shè)∠POM=α，則

由此可得tanα=1. 8分

又 10分

(3)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線，

即 12分

即 13分

由（*）式，代入上式，得

由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）. 14分

考點(diǎn)：拋物線及其幾何性質(zhì)，直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸思想.