Question

已知：f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

為奇函數(shù)，
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函數(shù)值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由分式函數(shù)的分母不等于0求解x的取值集合得原函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）利用奇函數(shù)的概念，由f（-x）+f（x）=0恒成立列式求a的值；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的a的值代入函數(shù)解析式，然后化簡整理，把2^x用含有y的代數(shù)式表示，由2^x＞0，求解關(guān)于y的分式不等式，最后得到原函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）要使原函數(shù)有意義，則2^x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=

a•2x-1-a

2x-1

為奇函數(shù)，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即

a•2-x-1-a

2-x-1

+

a•2x-1-a

2x-1

=0恒成立，
整理得：

a-(a+1)•2x

1-2x

+

a•2x-1-a

2x-1

=0，
（a+1）•2^x-a+a•2^x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2^x-1）=0恒成立，
則a=-

1

2

．
（Ⅲ）把a=-

1

2

代入原函數(shù)得，f(x)=

- 1 2 •2x- 1 2

2x-1

=

1+2x

2(1-2x)

，
由y=

1+2x

2(1-2x)

，得2y-2y•2^x=1+2^x，
即2^x（2y+1）=2y-1，則2x=

2y-1

2y+1

，
由2x=

2y-1

2y+1

＞0，得：y＜-

1

2

，或y＞

1

2

．
所以，函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)的奇偶性求解代求系數(shù)時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為恒等式的系數(shù)為0求解，考查了利用有界性求解函數(shù)的值域，此題屬中檔題．