Question

【題目】設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且其中m為實(shí)常數(shù)， 且.

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列的公比滿足且，，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（3）若時，設(shè)，求數(shù)列的前n和.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析，（3）

【解析】

（1）根據(jù)所給的關(guān)系式，仿寫一個關(guān)系式，兩式相減得到連續(xù)兩項(xiàng)的比值等于常數(shù)，故得結(jié)果；

（2）根據(jù)求出的值，再根據(jù)題意得到關(guān)于數(shù)列的表達(dá)式，兩邊除以可證為等差數(shù)列，求出新數(shù)列的表達(dá)式，進(jìn)而求出數(shù)列的表達(dá)式；

（3）將代入可得的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求結(jié)果即可.

（1）由，得，

兩式相減得，

∴.由，解出，

∴是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（2）由，解出，∴.

，且時，

，，推出.

∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

∴，∴.

（3）若，則，所以，又，

∴.

.

∴.