Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}中，公比q＞1，2a₃與

3

2

a₅的等差中項為2a₄，a₂與a₆的等比中項為8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

4a1q3=2a1q2+ 3 2 a1q4 a1q•a1q5=64

，由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=log₂a_n=log22n-1=n-1，得a_n+b_n=2^n-1+n-1，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵正項等比數(shù)列{a_n}中，公比q＞1，2a₃與

3

2

a₅的等差中項為2a₄，a₂與a₆的等比中項為8，
∴

4a1q3=2a1q2+ 3 2 a1q4 a1q•a1q5=64

，
由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n=log22n-1=n-1，
∴a_n+b_n=2^n-1+n-1，
∴S_n=1+2+2²+…+2^n-1+（1+2+3+…+n）-n
=

1-2n

1-2

+

n(n+1)

2

-n
=2ⁿ

n2-n

2

-1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的合理運用，注意分組求和法的合理運用．