Question

（2008•閔行區(qū)二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，E是 側(cè)棱CC₁上的任意一點，在線段A₁C₁上是否存在一個定點P，使得D₁P都垂直于AE，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：假設(shè)在線段A₁C₁上存在一個定點P，使得D₁P都垂直于AE，分別以

DA

，

DC

，

DD1

方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，計算出

D1P

=(x，a-x，0)，

AE

=(-a，a，t)，根據(jù)D₁P都垂直于AE建立等式關(guān)系關(guān)系，解之即可．

解答：（本題滿分12分）
解：假設(shè)在線段A₁C₁上存在一個定點P，使得D₁P都
垂直于AE，如圖，分別以

DA

，

DC

，

DD1

方向為x軸，y軸，z軸
正方向，建立空間直角坐標系．
依題意可設(shè)AB=a，AA₁=b，EC=t，D₁（0，0，b），P（x，a-x，b），
A（a，0，0），E（0，a，t）（4分）
則有

D1P

=(x，a-x，0)，

AE

=(-a，a，t)（6分）
由

D1P

•

AE

=x×(-a)+(a-x)×a+0×t=0（8分）
求得x=

a

2

即P(

a

2

，

a

2

，b)為A₁C₁中點                
∴假設(shè)成立，即線段A₁C₁中點P，使得D₁P都垂直于AE．          （12分）

點評：本題主要考查了利用空間向量的方法解決立體幾何問題，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．