Question

5．在△ABC中，有下列結(jié)論：
①若a²=b²+c²+bc，則∠A為60°；
②若a²+b²＞c²，則△ABC為銳角三角形；
③若A：B：C=1：2：3，則a：b：c=1：2：3，
④在△ABC中，b=2，B=45°，若這樣的三角形有兩個(gè)，則邊a的取值范圍為（2，2$\sqrt{2}$）
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①，由余弦定理可得cosaA，即可判定；
②，若a²+b²＞c²，只能判定C為銳角，不能判定△ABC為銳角三角形；
③，由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC≠A：B：C；
④，由題意判斷出三角形有兩解時(shí)，A的范圍，通過(guò)正弦定理及正弦函數(shù)的性質(zhì)推出a的范圍即可．

解答 解：對(duì)于①，由余弦定理得cosA=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，∴A=120°，故錯(cuò)；
對(duì)于②，若a²+b²＞c²，只能判定C為銳角，不能判定△ABC為銳角三角形，故錯(cuò)；
對(duì)于③，由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC≠A：B：C，故錯(cuò)；
對(duì)于④，解：由AC=b=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)A=90°時(shí)，圓與AB相切；當(dāng)A=45°時(shí)交于B點(diǎn)，也就是只有一解，
∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$
=2$\sqrt{2}$sinA，∵2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$）．∴a的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$）．故正確．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判定，涉及到了解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．