Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{e}$，|$\overrightarrow{e}$|=1，f（x）=|$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$|是定義在R上的函數(shù)，
（1）若f（x）≥f（1）對所有x∈R都成立，求證：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）⊥$\overrightarrow{e}$；
（2）求當(dāng)x取何值時，f（x）取到最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，令對稱軸為x=1即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1，
從而可得（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）•$\overrightarrow{e}$=0；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵（$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+x²，∴f（x）=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+{x}^{2}}$，
∵f（x）≥f（1）對所有x∈R都成立，
∴當(dāng)x=1時，x²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$取得最小值，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1，
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）•$\overrightarrow{e}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-${\overrightarrow{e}}^{2}$=1-1=0，
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）⊥$\overrightarrow{e}$．
（2）∵x²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=（x-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）²+${\overrightarrow{a}}^{2}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）²，
∴當(dāng)x=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$時，f（x）取得最小值．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．