Question

【題目】(本小題共l4分)

已知函數(shù)f(x)=x +, h(x)=．

(I)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅱ)設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程log4[]=1og2h(a-x)一log2h (4-x)；

(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．即可求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）先把原等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于和之間的等量關(guān)系，最后利用圖象來(lái)求的值（注意對(duì)的討論）．

（Ⅲ）把轉(zhuǎn)化為一新數(shù)列的前100項(xiàng)和，再比較新數(shù)列的每一項(xiàng)和對(duì)應(yīng)之間的大小關(guān)系，即可比較與的大小．

解：（Ⅰ）由知，

，令，得．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，．

故時(shí)，是減函數(shù)；

故，時(shí)，是增函數(shù)．

在處有極小值且．

（Ⅱ）原方程可化為，

即，

①當(dāng)時(shí)，原方程有一解；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；

③當(dāng)時(shí)，原方程有一解；

④當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解．

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且

從而有．

當(dāng)時(shí)，

，

．

即對(duì)任意的，都有．

又因?yàn)?/span>，

所以（1）（2）．

故．