Question

已知曲線E上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－，0)和F2(，0)的距離之和為4．

(1)求曲線E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0，－2)的直線l與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1

（2）y＝2x－2或y＝－2x－2

【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓，其中a＝2，c＝，∴b＝＝1．

∴曲線E的方程為＋y2＝1．

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx－2，

設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，

∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，

由方程組，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

又∵y1·y2＝(kx1－2)(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4，

∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝0，

解得k2＝4，即k＝2或k＝－2，

所以，直線l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2．