Question

15．{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=b₁=1，a₄=b₃，a₈=b₄，則數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和等于（n-1）2ⁿ+1．

Answer 1

分析 通過設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q（q＞0），利用已知條件聯(lián)立方程組可求出d和q，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q（q＞0），
則由a₁=b₁=1可知：a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1，
又∵a₄=b₃，a₈=b₄，
∴1+3d=q²，1+7d=q³，
∴（1+3d）³=（1+7d）²，整理得27d²-22d-5=0，
解得：d=1或d=-$\frac{5}{27}$（舍），q=2，
∴a_n=n，b_n=2^n-1，
記c_n=a_nb_n=n•2^n-1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減，得：-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ=-（n-1）2ⁿ-1，
所以S_n=（n-1）2ⁿ+1，
故答案為：（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．