Question

數(shù)列{a_n}按下列條件給出：a₁=2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+1=a_n+2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+1=2a_n，則a₂₀₀₄等于（　　）

• A、3×2¹⁰⁰¹-2
• B、3×2¹⁰⁰²
• C、3×2¹⁰⁰³-2
• D、3×2¹⁰⁰²-2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2，得a_n=a_n+1-2，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=a_n+1-2，
由a_n+1=2a_n，得a_n=

1

2

a_n+1，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=

1

2

a_n+1，
則a_2k-1+a_2k=a_2k-2+

1

2

a_2k+1=

1

2

a_2k+1-2+

1

2

（a_2k+2-2）=

1

2

（a_2k+1+a_2k+2）-3，
令b_k=a_2k-1+a_2k=

1

2

（a_2k+1+a_2k+2）-3=

1

2

b_k+1-3
b_k+1+6=2（b_k+6）成等比，公比為2，a₂=4，b₁+6=a₁+a₂+6=12，
b_k+6=12×2^k-1，即b_k=12×2^k-1-6=6（2^k-1），
則a₂₀₀₃+a₂₀₀₄=b₁₀₀₂=6（2¹⁰⁰²-1），
a₂₀₀₃=a₂₀₀₄-2，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄=2a₂₀₀₄-2=3（2¹⁰⁰²-1），
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列項(xiàng)的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．