Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+1}}（x∈R）$，如圖是函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的圖象．
（1）求a的值，并判斷函數(shù)的奇偶性補充作出函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的圖象，說明作圖的理由；
（2）根據(jù)圖象指出（不必證明）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域；

Answer 1

分析 （1）由f（1）=$\frac{a}{2}$=2，求得 a的值，可得f（x）的解析式．
（2）結合f（x）的圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及值域．

解答 解：（1）由函數(shù)$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+1}}（x∈R）$在[0，+∞）上的圖象，可得f（1）=$\frac{a}{2}$=2，∴a=4，f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$．
由函數(shù)的解析式可得f（x）為奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，
由此可得它在R上的圖象．
（2）結合f（x）的圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（-∞，-1）、（1，+∞）．
函數(shù)的值域為[-2，2]．

點評 本題主要考查奇函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用，函數(shù)的值域，屬于中檔題．