(2013•靜安區(qū)一模)已知數(shù)列{an}的各項均為非零實數(shù),且對于任意的正整數(shù)n,都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3
(1)當n=3時,求所有滿足條件的三項組成的數(shù)列a1、a2、a3;
(2)試求出數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an-1間的遞推關系.是否存在滿足條件的無窮數(shù)列{an},使得a2013=-2012?若存在,求出這樣的無窮數(shù)列{an}的一個通項公式;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,n分別取1,2,3,代入計算,即可得到結(jié)論;
(2)令Sn=a1+a2+…+an,則Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13,兩式相減,得2Sn=an+12-an+1,再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an-1間的遞推關系;利用a1=1,a2013=-2012,所以無窮數(shù)列{an}的前2012項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列,從第2013項開始組成首項為-2012,公比為-1的等比數(shù)列,從而可得數(shù)列的通項.
解答:解:(1)當n=1時,a12=a13,由a1≠0得a1=1.(1分)
當n=2時,(1+a2)2=1+a23,由a2≠0得a2=2或a2=-1.
當n=3時,(1+a2+a3)2=1+a23+a33,若a2=2得a3=3或a3=-2;若a2=-1得a3=1;(5分)
綜上討論,滿足條件的數(shù)列有三個:1,2,3或1,2,-2或1,-1,1.(6分)
(2)令Sn=a1+a2+…+an,則Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).
從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13.(7分)
兩式相減,結(jié)合an+1≠0,得2Sn=an+12-an+1.(8分)
當n=1時,由(1)知a1=1;
當n≥2時,2an=2(Sn-Sn-1)=(an+12-an+1)-(an2-an),即(an+1+an)(an+1-an-1)=0,
所以an+1=-an或an+1=an+1.(12分)
又a1=1,a2013=-2012,所以無窮數(shù)列{an}的前2012項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列,從第2013項開始組成首項為-2012,公比為-1的等比數(shù)列.
an=
n(1≤n≤2012)
2012•(-1)n(n>2012)
.(14分)
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列通項的探究,考查學生分析解決問題的能力,確定數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an-1間的遞推關系是關鍵.
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cosB
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+
cosC
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AO
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2
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PA
PB
的值是
-1
-1

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1
2
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7
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1
4
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1
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