Question

袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球（m≥n≥2），這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，從袋中同時(shí)取出2個(gè)球，
（1）若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率是取出的兩個(gè)球是1紅1白的概率的整數(shù)倍，試證：m必為奇數(shù)．
（2）若取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，試求適合m+n≤40的所有數(shù)組（m，n）．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，先利用組合數(shù)公式計(jì)算出從“袋中任取2個(gè)”、“取出兩個(gè)球都是紅球”、“取出的兩個(gè)球是1紅1白”的取法數(shù)目，進(jìn)而可以結(jié)合古典概型公式計(jì)算出“取出兩個(gè)球都是紅球”的概率與“取出的兩個(gè)球是1紅1白”的概率，又由題意可得有

C 2 m C 2 m+n

C 1 m C 1 n C 2 m+n

=k(k∈Z)，將其變形可得m=2kn+1，即可得證明；
（2）結(jié)合（1）中“取出的兩個(gè)球是1紅1白”的概率，由對立事件的概率性質(zhì)可得“取出球是同色球”的概率，結(jié)合題意分析可得

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

=

1

2

，變形可得（m-n）²=m+n，
即m+n為完全平方數(shù)，進(jìn)而可以確定m+n的范圍，即可得m+n的值，結(jié)合（m-n）²=m+n可得m、n的值，綜合可得答案．

解答： 解：（1）證明：根據(jù)題意，
袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，從中任取2個(gè)，有

C

2 m+n

種不同的取法，
其中取出兩個(gè)球都是紅球的取法有

C

2 m

種，
取出的兩個(gè)球是1紅1白的取法有

C

1 m

•

C

1 n

種，
則取出兩個(gè)球都是紅球的概率為

C 2 m

C 2 m+n

，取出的兩個(gè)球是1紅1白的概率為

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又由題意，取出的兩個(gè)球都是紅球的概率是取出的兩個(gè)球是1紅1白的概率的整數(shù)倍，
則有

C 2 m C 2 m+n

C 1 m C 1 n C 2 m+n

=k(k∈Z)，變形可得m=2kn+1，∵k∈Z，n∈N，∴m必為奇數(shù)；
（2）由（1）的結(jié)論，取出的兩個(gè)球是1紅1白即顏色不同的概率為

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
則取出球是同色球的概率為1-

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又由取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，則有

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

=

1

2

，
變形可得（m-n）²=m+n，
即m+n為完全平方數(shù)，
又m+n≤40且m≥n≥2，
則4＜m+n≤40且m+n為完全平方數(shù)；
則m+n=36或25或16或9，
m+n=36時(shí)，（m-n）²=36，即m-n=6，解可得m=21、n=15，
m+n=25時(shí)，（m-n）²=25，即m-n=5，解可得m=15、n=10，
m+n=16時(shí)，（m-n）²=16，即m-n=4，解可得m=10、n=6，
m+n=9時(shí)，（m-n）²=9，即m-n=，解可得m=6、n=3，
符合題意的數(shù)組共四組（m，n），結(jié)果為（21，15），（15，10），（10，6），（6，3）．

點(diǎn)評：本題考查古典概型的計(jì)算，涉及排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確運(yùn)用排列、組合公式，準(zhǔn)確計(jì)算出各個(gè)事件的概率．