Question

【題目】對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？ 并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式對一切R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

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Answer 1

【答案】（1）不是“平底型”函數(shù)（2）實(shí)數(shù)的范圍是⑶m＝1，n＝1

【解析】

【解】（1）對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)或時(shí)，恒成立，故是“平底型”函數(shù)

……………………………………………………………2分

對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以不存在閉區(qū)間，使當(dāng)時(shí)，恒成立.

故不是“平底型”函數(shù). ……………………………………4分

（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.

因?yàn)?/span>，所以.又，則. ……6分

因?yàn)?/span>，則，解得.

故實(shí)數(shù)的范圍是. …………………………………………………8分

（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則

存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或. ……10分

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立.

此時(shí)，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù). ………………12分

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù). ………………13分

綜上分析，m＝1，n＝1為所求. ………………………………………14分