Question

已知a＞0且a≠1，數(shù)列{a_n}中，a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），令b_n=a_n•log₂a_n．
（1）若a=2，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）若b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a、公比為a的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的和；
（2）b_n+1＞b_n，等價(jià)于（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a，對(duì)a分類(lèi)討論，即可確定a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a、公比為a的等比數(shù)列，
∴an=an
∴b_n=a_n•log₂a_n=aⁿ•log₂aⁿ=naⁿ•log₂a．
∵a=2，
∴b_n=n•2ⁿ•log₂2=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n+1＞b_n，
∴（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a．
當(dāng)a＞1時(shí)，log₂a＞0，∴（n+1）a＞n，∴a＞

n

n+1

，
∵

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，而a＞1，
∴a＞1時(shí)，a＞

n

n+1

成立，即b_n+1＞b_n．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log₂a＜0，∴（n+1）a＜n，∴a＜

n

n+1

，
∵

n

n+1

=1-

1

n+1

單調(diào)遞增，
∴n=1時(shí)，(

n

n+1

)min=

1

2

∴0＜a＜

1

2

時(shí)，a＜

n

n+1

成立，即即b_n+1＞b_n．
綜上得，a的取值范圍是（0，

1

2

）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．