Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx．
（I）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方；
（II）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）構(gòu)造F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，利用導(dǎo)數(shù)確定在[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0，即可得到結(jié)論；
（II）x＞0時(shí)，[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合基本不等式，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（I）設(shè)F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，則F′(x)=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．
又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，F(xiàn)（x）＜0，即

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，
∴在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方；---------（6分）
（II）∵x＞0，∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)．
當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，有[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

2 n

xn-2•

1

x2

+…+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

1

2

[

C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

C

n-1 n

(xn-2+

1

xn-2

)]
≥

1

2

（2

C

1 n

+2

C

2 n

+…+2

C

n-1 n

）=2ⁿ-2
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．--------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．