【題目】

已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點是橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，

且，探究：直線是否過定點，并說明理由.

【答案】（1）（2）（3）直線過定點（）．

【解析】

試題（1）求橢圓方程一般利用待定系數(shù)法求解，由題意得△中，因此，從而（2）求軌跡問題，一般根據(jù)題意選擇對應(yīng)方法，本題涉及相關(guān)點，采取轉(zhuǎn)移法，即設(shè)的中點坐標(biāo)為,點，則，再代入，可得軌跡方程（3）研究直線過定點問題，一般先利用坐標(biāo)表示直線方程，再利用方程恒成立問題求相應(yīng)定點，解題關(guān)鍵為將直線方程表示為點斜式，即將y軸截距用斜率表示

試題解析：（1）由已知可得，所求橢圓方程為．

（2）設(shè)點，的中點坐標(biāo)為, 則

由,得代入上式 得

（3）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．

設(shè)，，由得．

則． 由已知，

所以，即．

所以，整理得．故直線的方程為，即（）．所以直線過定點（）．

若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，，由已知，得．此時方程為，顯然過點（）．

綜上，直線過定點（）．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】數(shù)列滿足，且.

（1）求、、；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）令，求數(shù)列的最大值與最小值.

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（2）求異面直線與所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）.

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（1）求、的值及函數(shù)的解析式；

（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）如果關(guān)于的方程有三個相異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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（1）求燈柱AB的高h（用表示）；

（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長度最小？最小值為多少？

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（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元.若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最��？

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