Question

【題目】狄利克雷函數(shù)為F(x).有下列四個命題：①此函數(shù)為偶函數(shù)，且有無數(shù)條對稱軸；②此函數(shù)的值域是；③此函數(shù)為周期函數(shù)，但沒有最小正周期；④存在三點，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（　�。�

A.①②B.①③C.③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據奇偶性定義和對稱軸對應的表達式進行判斷；②根據的取值得到值域；③根據周期性的定義進行分析；④先假設存在，然后推理證明是否存在.

①的定義域為關于原點對稱，當為有理數(shù)時，，當為無理數(shù)時，，

所以恒成立，所以是偶函數(shù)，

取非零有理數(shù)，當為有理數(shù)時，，當為無理數(shù)時，，

所以恒成立，有無數(shù)種可能，所以有無數(shù)條對稱軸；

②因為的取值只有，所以的值域為；

③取有理數(shù)，當為有理數(shù)時，，當為無理數(shù)時，，

所以恒成立，有無數(shù)種可能，所以是周期函數(shù)且無最小正周期；

④設存在滿足條件，

根據函數(shù)值域可知，的可能組合為：兩個有理數(shù)一個無理數(shù)、兩個無理數(shù)一個有理數(shù)，

(1)不妨設為有理數(shù)，為無理數(shù)，因為為等腰直角三角形，所以只能為的斜邊，

所以，所以為有理數(shù)，與假設矛盾，故不成立；

(2)不妨設為無理數(shù)，為有理數(shù)，因為為等腰直角三角形，所以只能為的斜邊，

所以，所以為無理數(shù)，與假設矛盾，故不成立，

綜上可知：不存在三點使得為等腰直角三角形.

故選：B.